Menguasai KPK dan FPB: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal untuk Kelas 4 SD K13
Matematika seringkali dianggap menakutkan bagi sebagian siswa, padahal sebenarnya sangat menyenangkan dan relevan dengan kehidupan sehari-hari. Salah satu materi penting yang dipelajari di kelas 4 SD Kurikulum 2013 (K13) adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Kedua konsep ini menjadi dasar untuk pemahaman materi matematika yang lebih kompleks di jenjang berikutnya, seperti pecahan.
Artikel ini akan mengajak Anda untuk menyelami dunia KPK dan FPB, memahami konsep dasarnya, mempelajari berbagai metode pencariannya, serta melihat bagaimana penerapannya dalam soal cerita sehari-hari. Siapkan pensil dan kertas Anda, mari kita mulai petualangan matematika ini!
I. Memahami Konsep Dasar yang Penting
Sebelum masuk ke KPK dan FPB, ada beberapa konsep dasar yang harus kita pahami betul:
-
Bilangan Prima:
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
Contoh bilangan prima: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Ingat: Angka 1 bukan bilangan prima. -
Faktorisasi Prima:
Faktorisasi prima adalah cara menyatakan sebuah bilangan dalam bentuk perkalian faktor-faktor prima. Metode yang paling umum dan mudah digunakan untuk faktorisasi prima adalah menggunakan pohon faktor.-
Contoh Faktorisasi Prima dengan Pohon Faktor:
-
Faktorisasi prima dari 12:
12 / 2 6 / 2 3Jadi, faktorisasi prima dari 12 adalah 2 x 2 x 3 = 2² x 3.
-
Faktorisasi prima dari 30:
30 / 2 15 / 3 5Jadi, faktorisasi prima dari 30 adalah 2 x 3 x 5.
-
-
-
Kelipatan Bilangan:
Kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan tersebut dengan bilangan asli (1, 2, 3, 4, …).- Contoh:
- Kelipatan dari 3: 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9, 3×4=12, 3×5=15, … (dan seterusnya)
- Kelipatan dari 5: 5, 10, 15, 20, 25, … (dan seterusnya)
- Contoh:
-
Faktor Bilangan:
Faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis bilangan tersebut tanpa sisa.- Contoh:
- Faktor dari 12: Bilangan yang bisa membagi habis 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Faktor dari 18: Bilangan yang bisa membagi habis 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- Contoh:
II. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
KPK dari dua atau lebih bilangan adalah kelipatan persekutuan (kelipatan yang sama) terkecil dari bilangan-bilangan tersebut, selain nol. KPK sangat berguna dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kejadian berulang yang terjadi bersamaan di masa depan.
Ada dua metode utama untuk mencari KPK:
Metode 1: Mendaftar Kelipatan
Metode ini cocok untuk bilangan-bilangan kecil. Kita cukup mendaftar kelipatan dari setiap bilangan hingga menemukan kelipatan yang sama dan terkecil.
- Contoh Soal 1: Mencari KPK dari 4 dan 6
- Kelipatan 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
- Kelipatan 6: 6, 12, 18, 24, 30, …
- Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 adalah 12, 24, …
- Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) adalah 12.
Metode 2: Menggunakan Faktorisasi Prima (Pohon Faktor)
Metode ini lebih efisien dan direkomendasikan untuk bilangan yang lebih besar.
Langkah-langkah:
- Faktorkan setiap bilangan ke dalam faktor-faktor primanya menggunakan pohon faktor.
- Kalikan semua faktor prima yang ada. Jika ada faktor prima yang sama, ambil yang memiliki pangkat tertinggi.
-
Contoh Soal 2: Mencari KPK dari 12 dan 18
-
Faktorisasi prima dari 12:
12 / 2 6 / 2 312 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
-
Faktorisasi prima dari 18:
18 / 2 9 / 3 318 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3²
-
Mengambil semua faktor prima yang ada (2 dan 3), dengan pangkat tertinggi:
- Faktor 2: ada 2² (dari 12) dan 2¹ (dari 18). Ambil yang pangkat tertinggi: 2²
- Faktor 3: ada 3¹ (dari 12) dan 3² (dari 18). Ambil yang pangkat tertinggi: 3²
-
Kalikan faktor-faktor tersebut:
KPK = 2² x 3² = (2 x 2) x (3 x 3) = 4 x 9 = 36.
-
Penerapan KPK dalam Kehidupan Sehari-hari (Soal Cerita)
KPK sering muncul dalam soal cerita yang menanyakan "kapan suatu kejadian akan terjadi bersamaan lagi?" atau "berapa jumlah minimal untuk memenuhi syarat tertentu?".
-
Contoh Soal 3 (Soal Cerita KPK):
Andi berenang setiap 4 hari sekali dan Budi berenang setiap 6 hari sekali. Jika hari ini mereka berenang bersama-sama, berapa hari lagi mereka akan berenang bersama-sama untuk kedua kalinya?-
Penyelesaian:
Kita mencari KPK dari 4 dan 6.-
Faktorisasi prima dari 4:
4 / 2 24 = 2²
-
Faktorisasi prima dari 6:
6 / 2 36 = 2 x 3
-
Ambil semua faktor prima dengan pangkat tertinggi:
- Faktor 2: ada 2² (dari 4) dan 2¹ (dari 6). Ambil 2².
- Faktor 3: ada 3¹ (dari 6). Ambil 3¹.
-
Kalikan:
KPK = 2² x 3 = 4 x 3 = 12.
Jadi, Andi dan Budi akan berenang bersama lagi 12 hari kemudian.
-
-
III. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
FPB dari dua atau lebih bilangan adalah faktor persekutuan (faktor yang sama) terbesar dari bilangan-bilangan tersebut. FPB berguna dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pembagian sesuatu ke dalam kelompok yang sama banyak atau mencari ukuran terbesar yang bisa digunakan untuk membagi.
Ada dua metode utama untuk mencari FPB:
Metode 1: Mendaftar Faktor
Metode ini cocok untuk bilangan-bilangan kecil. Kita cukup mendaftar faktor dari setiap bilangan hingga menemukan faktor yang sama dan terbesar.
- Contoh Soal 4: Mencari FPB dari 12 dan 18
- Faktor dari 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Faktor dari 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, 6.
- Faktor persekutuan terbesar (FPB) adalah 6.
Metode 2: Menggunakan Faktorisasi Prima (Pohon Faktor)
Metode ini lebih efisien dan direkomendasikan untuk bilangan yang lebih besar.
Langkah-langkah:
- Faktorkan setiap bilangan ke dalam faktor-faktor primanya menggunakan pohon faktor.
- Kalikan semua faktor prima yang sama dari kedua bilangan tersebut. Jika ada faktor prima yang sama, ambil yang memiliki pangkat terkecil.
-
Contoh Soal 5: Mencari FPB dari 24 dan 36
-
Faktorisasi prima dari 24:
24 / 2 12 / 2 6 / 2 324 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3
-
Faktorisasi prima dari 36:
36 / 2 18 / 2 9 / 3 336 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²
-
Mengambil faktor prima yang sama (yaitu 2 dan 3), dengan pangkat terkecil:
- Faktor 2: ada 2³ (dari 24) dan 2² (dari 36). Ambil yang pangkat terkecil: 2²
- Faktor 3: ada 3¹ (dari 24) dan 3² (dari 36). Ambil yang pangkat terkecil: 3¹
-
Kalikan faktor-faktor tersebut:
FPB = 2² x 3 = (2 x 2) x 3 = 4 x 3 = 12.
-
Penerapan FPB dalam Kehidupan Sehari-hari (Soal Cerita)
FPB sering muncul dalam soal cerita yang menanyakan "berapa jumlah kelompok terbanyak yang bisa dibentuk?", "berapa ukuran terbesar yang bisa digunakan untuk membagi?", atau "berapa banyak setiap item dalam setiap kelompok?".
-
Contoh Soal 6 (Soal Cerita FPB):
Ibu memiliki 20 buah apel dan 30 buah jeruk. Ibu ingin membagi buah-buahan tersebut ke dalam beberapa keranjang sehingga setiap keranjang berisi apel dan jeruk dalam jumlah yang sama banyak. Berapa paling banyak keranjang yang bisa Ibu sediakan?-
Penyelesaian:
Kita mencari FPB dari 20 dan 30.-
Faktorisasi prima dari 20:
20 / 2 10 / 2 520 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5
-
Faktorisasi prima dari 30:
30 / 2 15 / 3 530 = 2 x 3 x 5
-
Ambil faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil:
- Faktor 2: ada 2² (dari 20) dan 2¹ (dari 30). Ambil 2¹.
- Faktor 3: tidak ada di 20, jadi tidak diambil.
- Faktor 5: ada 5¹ (dari 20) dan 5¹ (dari 30). Ambil 5¹.
-
Kalikan:
FPB = 2 x 5 = 10.
Jadi, paling banyak Ibu bisa menyediakan 10 keranjang.
(Setiap keranjang akan berisi 20/10 = 2 apel dan 30/10 = 3 jeruk). -
-
IV. Latihan Soal dan Pembahasan (Gabungan KPK & FPB)
Mari kita coba beberapa soal lagi untuk mengasah pemahaman Anda!
Soal 1 (KPK):
Berapakah KPK dari 15 dan 25?
-
Pembahasan:
-
Faktorisasi prima dari 15:
15 / 3 515 = 3 x 5
-
Faktorisasi prima dari 25:
25 / 5 525 = 5²
-
Ambil semua faktor prima dengan pangkat tertinggi:
- Faktor 3: 3¹
- Faktor 5: 5²
-
Kalikan:
KPK = 3 x 5² = 3 x 25 = 75.
-
Soal 2 (FPB):
Tentukan FPB dari 42 dan 60.
-
Pembahasan:
-
Faktorisasi prima dari 42:
42 / 2 21 / 3 742 = 2 x 3 x 7
-
Faktorisasi prima dari 60:
60 / 2 30 / 2 15 / 3 560 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
-
Ambil faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil:
- Faktor 2: ada 2¹ (dari 42) dan 2² (dari 60). Ambil 2¹.
- Faktor 3: ada 3¹ (dari 42) dan 3¹ (dari 60). Ambil 3¹.
- Faktor 5 dan 7: tidak ada di kedua-duanya, jadi tidak diambil.
-
Kalikan:
FPB = 2 x 3 = 6.
-
Soal 3 (Soal Cerita KPK):
Sebuah bus A berangkat dari terminal setiap 20 menit sekali, sedangkan bus B berangkat setiap 25 menit sekali. Jika kedua bus berangkat bersama-sama pada pukul 07.00 pagi, pukul berapa lagi kedua bus akan berangkat bersama-sama?
- Pembahasan:
Kita mencari KPK dari 20 dan 25 untuk mengetahui berapa menit lagi mereka akan berangkat bersama.- Faktorisasi prima dari 20:
20 = 2² x 5 - Faktorisasi prima dari 25:
25 = 5² - KPK = 2² x 5² = 4 x 25 = 100.
Kedua bus akan berangkat bersama lagi 100 menit kemudian.
100 menit = 1 jam 40 menit.
Jika berangkat bersama pada pukul 07.00, maka mereka akan berangkat bersama lagi pada pukul 07.00 + 1 jam 40 menit = 08.40.
- Faktorisasi prima dari 20:
Soal 4 (Soal Cerita FPB):
Pak Doni memiliki 36 buah pensil dan 48 buah buku. Ia ingin membuat paket hadiah untuk murid-muridnya. Setiap paket harus berisi pensil dan buku dengan jumlah yang sama banyak. Berapa paket terbanyak yang dapat dibuat Pak Doni?
-
Pembahasan:
Kita mencari FPB dari 36 dan 48 untuk mengetahui jumlah paket terbanyak.- Faktorisasi prima dari 36:
36 = 2² x 3² - Faktorisasi prima dari 48:
48 / 2 24 / 2 12 / 2 6 / 2 348 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 2⁴ x 3
- Ambil faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil:
- Faktor 2: ada 2² (dari 36) dan 2⁴ (dari 48). Ambil 2².
- Faktor 3: ada 3² (dari 36) dan 3¹ (dari 48). Ambil 3¹.
- Kalikan:
FPB = 2² x 3 = 4 x 3 = 12.
Jadi, Pak Doni dapat membuat 12 paket hadiah.
(Setiap paket akan berisi 36/12 = 3 pensil dan 48/12 = 4 buku). - Faktorisasi prima dari 36:
Soal 5 (Campuran):
Dua buah lampu hias berkedip. Lampu merah berkedip setiap 3 detik dan lampu biru berkedip setiap 5 detik.
a. Berapa detik lagi kedua lampu akan berkedip bersamaan? (KPK)
b. Jika ada 45 buah permen dan 60 buah cokelat yang akan dibagi rata ke dalam kantong-kantong, berapa paling banyak kantong yang bisa dibuat? (FPB)
-
Pembahasan:
a. Mencari KPK dari 3 dan 5.- Karena 3 dan 5 adalah bilangan prima, KPK-nya adalah hasil perkalian keduanya.
- KPK = 3 x 5 = 15 detik.
b. Mencari FPB dari 45 dan 60.
- Faktorisasi prima dari 45:
45 / 3 15 / 3 545 = 3² x 5 - Faktorisasi prima dari 60:
60 = 2² x 3 x 5 - Ambil faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil:
- Faktor 2: tidak ada di 45.
- Faktor 3: ada 3² (dari 45) dan 3¹ (dari 60). Ambil 3¹.
- Faktor 5: ada 5¹ (dari 45) dan 5¹ (dari 60). Ambil 5¹.
- Kalikan:
FPB = 3 x 5 = 15.
Jadi, paling banyak 15 kantong yang bisa dibuat.
V. Tips untuk Menguasai KPK dan FPB
- Pahami Konsep Dasar: Pastikan Anda benar-benar mengerti apa itu bilangan prima, faktorisasi prima, kelipatan, dan faktor. Ini adalah kunci utama.
- Latih Pohon Faktor: Semakin sering Anda membuat pohon faktor, semakin cepat dan akurat Anda melakukannya.
- Hafalkan Bilangan Prima Kecil: Menghafal bilangan prima seperti 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 akan sangat membantu.
- Bedakan Aturan KPK dan FPB:
- KPK: Ambil semua faktor prima yang ada, jika ada yang sama, ambil pangkat tertinggi. (Ingat: KPK itu "kecil", tapi aturannya "besar" – ambil semua, ambil pangkat tertinggi).
- FPB: Ambil faktor prima yang sama saja, jika ada yang sama, ambil pangkat terkecil. (Ingat: FPB itu "besar", tapi aturannya "kecil" – hanya yang sama, ambil pangkat terkecil).
- Perbanyak Latihan Soal Cerita: Soal cerita adalah penerapan nyata dari KPK dan FPB. Latih kemampuan Anda untuk mengidentifikasi apakah suatu soal cerita membutuhkan KPK (biasanya tentang "kapan bertemu lagi", "jumlah minimal") atau FPB (biasanya tentang "membagi sama rata", "jumlah kelompok terbanyak", "ukuran terbesar").
- Jangan Takut Salah: Kesalahan adalah bagian dari proses belajar. Analisis di mana letak kesalahan Anda dan perbaiki.
Penutup
Selamat! Anda telah mempelajari dasar-dasar KPK dan FPB beserta berbagai contoh soalnya. Ingatlah bahwa matematika adalah tentang latihan. Semakin banyak Anda berlatih, semakin mudah dan menyenangkan materi ini bagi Anda. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau orang tua jika ada hal yang belum Anda pahami. Teruslah semangat belajar, karena pemahaman yang kuat tentang KPK dan FPB akan membuka pintu menuju banyak konsep matematika menarik lainnya di masa depan!
